Volatilità: Come Misurarla Davvero e Cosa Ci Dice sul Rischio

Perché la volatilità è il numero più citato e meno capito

Nella finanza quantitativa la volatilità è ovunque: compare nei prospetti dei fondi, nei report di rischio, nelle metriche di performance aggiustata per il rischio, nelle formule di sizing delle posizioni. Eppure, quando si chiede a qualcuno cosa sia esattamente, la risposta tipica è "quanto si muove un prezzo". Vero, ma troppo vago per essere utile.

La volatilità è una misura di dispersione dei rendimenti attorno alla loro media. Non dice quanto si guadagnerà, non dice in che direzione andrà il mercato, non dice quanto si può perdere nel caso peggiore. Dice una cosa sola: quanto sono stati (o si stima che saranno) irregolari i rendimenti in un certo intervallo di tempo.

Questa definizione apparentemente banale ha conseguenze enormi. Cambia il modo in cui si calcolano i rendimenti, cambia l'orizzonte temporale a cui si riferisce il numero, cambia il modo in cui va interpretato. E soprattutto cambia il significato di tutte le metriche che ci si costruiscono sopra, dal VaR allo Sharpe ratio.

Questo articolo è una guida pratica al calcolo della volatilità. Non è una guida su cosa comprare o vendere: è un pezzo di metodologia, con esempi numerici puramente illustrativi.

Rendimenti semplici o logaritmici?

Prima di calcolare qualsiasi volatilità bisogna decidere come rappresentare i rendimenti. Le due convenzioni più comuni sono:

• rendimento semplice: la variazione percentuale del prezzo tra due istanti;
• rendimento logaritmico: il logaritmo naturale del rapporto tra i prezzi.

In formula, se P indica il prezzo al tempo t e P(t-1) il prezzo precedente:

rendimento semplice  r_t = (P_t - P_(t-1)) / P_(t-1)
rendimento logaritmico l_t = ln(P_t / P_(t-1))

Per variazioni piccole i due valori sono quasi identici: un +1% semplice corrisponde a circa +0,995% logaritmico. La differenza diventa visibile su movimenti grandi.

Perché quasi tutti i modelli quantitativi usano i rendimenti logaritmici? Per tre motivi concreti:

1. Sono additivi nel tempo. Il rendimento logaritmico di due giorni consecutivi è semplicemente la somma dei due rendimenti giornalieri. Con i rendimenti semplici bisogna moltiplicare i fattori di crescita.
2. Sono simmetrici. Un +50% e un -50% semplici non si compensano; i corrispondenti logaritmici sì, in valore assoluto.
3. Si comportano meglio statisticamente. Su orizzonti brevi sono più vicini a una distribuzione trattabile.

Questa scelta non è un dettaglio da nerd: se si calcola la volatilità sui rendimenti semplici e poi la si usa in un modello pensato per rendimenti logaritmici, si introducono distorsioni silenziose, che si accumulano quando i movimenti sono ampi.

Dalla deviazione standard alla volatilità annualizzata

La volatilità, nella sua accezione più diffusa, è semplicemente la deviazione standard campionaria dei rendimenti. Se si lavora con dati giornalieri, si ottiene una volatilità giornaliera; con dati mensili, una volatilità mensile.

Il problema è che il numero da solo non significa nulla senza il suo orizzonte. Una volatilità dello 0,8% è bassa se riferita a un giorno, altissima se riferita a un anno. Per questo si usa quasi sempre la volatilità annualizzata, ottenuta moltiplicando la volatilità del periodo per la radice quadrata del numero di periodi in un anno:

volatilità annuale = volatilità giornaliera * radice(252)
volatilità annuale = volatilità settimanale * radice(52)
volatilità annuale = volatilità mensile    * radice(12)

La radice quadrata nasce dall'ipotesi che i rendimenti siano indipendenti e identicamente distribuiti: sotto questa ipotesi le varianze si sommano nel tempo, quindi le deviazioni standard crescono con la radice del tempo.

Qui sta la prima grande trappola. Quell'ipotesi è falsa nei mercati reali, e non di poco. I rendimenti non sono indipendenti: periodi tranquilli si alternano a periodi turbolenti, e la turbolenza tende a raggrupparsi. La conseguenza pratica è che l'annualizzazione con radice di 252 è una comoda convenzione, non una legge di natura.

Calcolare la volatilità in Python

Vediamo un esempio con una serie di prezzi simulata, utile solo a mostrare il procedimento.

import numpy as np
import pandas as pd

rng = np.random.default_rng(42)

# serie sintetica: 500 giorni di rendimenti logaritmici simulati
rendimenti_simulati = rng.normal(loc=0.0003, scale=0.012, size=500)
prezzi = 100 * np.exp(np.cumsum(rendimenti_simulati))

# rendimenti logaritmici dai prezzi
log_ret = np.diff(np.log(prezzi))

vol_giornaliera = log_ret.std(ddof=1)          # ddof=1 -> stimatore campionario
vol_annuale = vol_giornaliera * np.sqrt(252)

print(f"Volatilità giornaliera : {vol_giornaliera:.4%}")
print(f"Volatilità annualizzata: {vol_annuale:.2%}")

Due dettagli che sfuggono spesso:

• ddof=1: la deviazione standard campionaria divide per n-1, non per n. Con serie corte la differenza non è trascurabile.
• la finestra temporale: qui si usa tutta la serie. Nella pratica si usano finestre mobili di 20, 60 o 252 giorni, e il risultato cambia molto in base alla scelta.

Per confrontare periodi diversi conviene guardare la volatilità rolling, non un singolo numero che media tutto:

vol_rolling = log_ret.std(ddof=1) * np.sqrt(252)  # placeholder
serie = pd.Series(log_ret)
vol_rolling_20 = serie.rolling(20).std(ddof=1) * np.sqrt(252)
vol_rolling_60 = serie.rolling(60).std(ddof=1) * np.sqrt(252)

Se le due linee divergono in modo persistente, significa che la volatilità recente è diversa da quella di medio periodo. Ignorarlo è uno degli errori più comuni.

Volatility clustering: la volatilità non è costante

Uno dei fatti stilizzati più solidi delle serie finanziarie è il volatility clustering: i giorni ad alta volatilità tendono a essere seguiti da altri giorni ad alta volatilità, e viceversa. Non è una regolarità perfetta, ma è abbastanza forte da essere visibile a occhio in qualsiasi grafico di rendimenti.

Questo ha due implicazioni pratiche enormi.

La prima: la volatilità è prevedibile in una certa misura, molto più della direzione dei prezzi. Non si sa se domani il mercato salirà o scenderà, ma spesso si ha un'idea ragionevole di quanto si muoverà.

La seconda: gli stimatori a finestra fissa reagiscono lentamente. Una media mobile a 60 giorni include ancora osservazioni di due mesi prima e smorza i cambi di regime. Quando la volatilità cambia bruscamente, la stima resta bassa per settimane, proprio nel momento in cui servirebbe più reattiva.

EWMA e GARCH: dare più peso al presente

Per rimediare alla lentezza delle medie mobili si usano modelli che pesano di più le osservazioni recenti.

Il più semplice è l'EWMA (Exponential Weighted Moving Average), nella versione resa popolare da RiskMetrics. L'idea è che la varianza stimata oggi sia una combinazione tra la varianza stimata ieri e il quadrato del rendimento di oggi:

varianza_t = lambda * varianza_(t-1) + (1 - lambda) * rendimento_(t-1)^2

Il parametro lambda controlla la memoria del modello: valori vicini a 1 (per esempio 0,94, valore convenzionale su dati giornalieri) danno stime molto stabili; valori più bassi le rendono più reattive ma più rumorose.

def ewma_vol(rendimenti, lam=0.94, warmup=20):
    var = rendimenti[:warmup].var(ddof=1)
    out = []
    for r in rendimenti[warmup:]:
        var = lam * var + (1 - lam) * r ** 2
        out.append(var ** 0.5)
    return np.array(out)

Un passo ulteriore è il GARCH(1,1), che oltre al rendimento al quadrato e alla varianza passata introduce un termine costante di lungo periodo:

varianza_t = omega + alpha * rendimento_(t-1)^2 + beta * varianza_(t-1)

Il GARCH ha il vantaggio di far convergere la varianza verso un livello medio di lungo periodo, cosa che l'EWMA non fa. Il costo è una stima più complessa (tipicamente a massima verosimiglianza) e più parametri da validare.

Volatilità realizzata e volatilità implicita

Finora si è parlato di volatilità storica (o realizzata), calcolata dai prezzi passati. Esiste però anche una volatilità implicita, che si estrae dai prezzi delle opzioni: è il livello di volatilità che rende coerenti i prezzi di mercato con un modello di valutazione.

Le due misure rispondono a domande diverse:

• la volatilità realizzata guarda indietro e misura quanto è successo;
• la volatilità implicita guarda avanti e incorpora le aspettative del mercato, più una componente di premio al rischio.

Il confronto tra le due è una pratica comune: quando l'implicita è molto sopra la realizzata, il mercato sta prezzando più incertezza di quanta ne sia stata osservata di recente. Non è un segnale operativo, ma è un'informazione utile per capire lo stato del mercato.

Gli errori che rendono le stime inutili

Alcuni errori ricorrenti nel calcolo della volatilità:

• Mescolare orizzonti. Calcolare la volatilità su rendimenti mensili e annualizzarla con radice di 252 produce numeri sbagliati di un ordine di grandezza.
• Finestre troppo corte. Con 10 osservazioni la stima è dominata dal rumore; con 5 è praticamente casuale.
• Assumere la normalità. I rendimenti finanziari hanno code grasse: eventi estremi accadono molto più spesso di quanto una normale preveda. Sottostimare le code significa sottostimare il rischio.
• Ignorare l'asimmetria. La deviazione standard tratta allo stesso modo un +5% e un -5%. Chi investe teme soprattutto le perdite, quindi ha senso affiancare misure come la semivarianza o il downside deviation, che considerano solo i rendimenti sotto una soglia.
• Usare un solo numero. Ridurre mesi o anni di dati a una singola cifra cancella proprio l'informazione più utile: come cambia la volatilità nel tempo.
• Dimenticare la correlazione. La volatilità di un portafoglio non è la media delle volatilità dei suoi componenti. Dipende dalle correlazioni, che tendono ad aumentare nei momenti peggiori, proprio quando servirebbe che restassero basse.

Su quest'ultimo punto vale la pena essere espliciti: diversificare riduce il rischio solo se gli asset non si muovono insieme. Nei crolli le correlazioni salgono, e la diversificazione rende meno di quanto suggerito dai dati di periodi tranquilli.

Cosa ci dice (e cosa non ci dice) la volatilità

La volatilità è uno strumento utile, ma ha un dominio preciso.

Ci dice quanto sono stati dispersi i rendimenti, quanto velocemente cambia il regime di mercato, e fornisce un'unità di misura per confrontare strumenti diversi o per dimensionare le posizioni in modo coerente.

Non ci dice in che direzione andrà il prezzo, quanto si può perdere nel caso peggiore, quanto è liquido uno strumento, quanto è probabile un evento estremo. Un VaR calcolato con un'assunzione di normalità, per esempio, tende a sottostimare proprio gli eventi che contano di più.

Trattare la volatilità come sinonimo di rischio è una scorciatoia comoda ma imprecisa. Il rischio è un insieme di cose: dispersione, code, liquidità, correlazione, leva, orizzonte. La volatilità è una sola di quelle dimensioni, e nemmeno la più importante in tutti i contesti.

Conclusione

La volatilità è una misura di dispersione, non una previsione e non una misura completa di rischio. I punti chiave:

• Usare rendimenti logaritmici semplifica i calcoli e rende le serie più trattabili nel tempo.
• L'annualizzazione con radice del tempo vale sotto ipotesi di indipendenza che nei mercati reali non reggono.
• Il volatility clustering rende la volatilità parzialmente prevedibile e le medie mobili troppo lente.
• EWMA e GARCH danno più peso al presente; il secondo converge a un livello di lungo periodo.
• La deviazione standard ignora code grasse e asimmetria: va affiancata ad altre misure.
• La volatilità di portafoglio dipende dalle correlazioni, che peggiorano nei momenti difficili.

Prima di usare un numero di volatilità in qualsiasi modello, conviene chiedersi: su quale orizzonte è calcolato, con quale finestra, con quali ipotesi sulla distribuzione. Sono tre domande che eliminano la maggior parte degli errori.

Foto di copertina di Maxim Hopman su Unsplash.